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八数码问题是一个非常经典的爆搜问题，可以使用双向广搜优化，这里讨论A*算法的优化方式。

A*算法

A*（A-star）算法是一种带有估价函数的优先队列BFS。只要保证对于任意状态state，都有f(state)<= g(state)，A*算法就能在目标状态第一次从堆中被取出时得到最优解，并且在搜索过程中每个状态只需要被拓展一次。

A*算法成立的关键条件在于估价函数的估价必须小于或等于真实的最短距离。这样能保证所有估价函数值（f(state)+d(state)）小于真实最短距离 (d(end)) 的点被更新（更新对于一个点可以有多次）,从而保证目标点在第一次取出时路径最优。

八数码问题：

在一个 3×3 的网格中，1~8这 8 个数字和一个 X恰好不重不漏地分布在这3×3 的网格中。

例如：

1 2 3
X 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把 X与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3
4 5 6
7 8 X

例如，示例中图形就可以通过让 X先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
X 4 6   4 X 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 X 8   7 8 X

把 X与上下左右方向数字交换的行动记录为 u、d、l、r。

现在，给你一个初始网格，请你通过最少的移动次数，得到正确排列。

输入格式

输入占一行，将3×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3 
x 4 6 
7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个字符串，表示得到正确排列的完整行动记录。

如果答案不唯一，输出任意一种合法方案即可。

如果不存在解决方案，则输出 unsolvable。

输入样例：

2  3  4  1  5  x  7  6  8

输出样例

ullddrurdllurdruldr

解题代码：

#includeusing namespace std;
typedef pairPIS;

int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
char ch[4] = {'u', 'r', 'd', 'l'};
unordered_mapst; //标记一个点有没有从堆中取出过，对于取出的点不需要再进行重复的拓展
unordered_mapd;//记录点到起点的距离，这里不一定是最短距离！所以最终得到的d[end]不是最短距离！
unordered_map>pre;//记录前继节点与路径

//利用曼哈顿距离求估价
int f(string s)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i< 9; i++)
        if (s[i] != 'x')
        {
            int t = s[i] - '1';
            res += abs(i / 3 - t / 3) + abs(i % 3 - t % 3);
        }
    return res;
}

string dfs(string start)
{
    string ans;
    d[ans] = 0;
    priority_queue, greater>q; //优先队列BFS
    q.push({f(start), start});
    string s;
    while (q.size())
    {
        PIS e = q.top();
        q.pop();
        s = e.second;
        if (s == "12345678x")
            break;
        if(st[s])continue; //取出的点不需要再进行重复的拓展
        st[s]=true;
        int x, y;
        for (int i = 0; i< 9; i++)
            if (s[i] == 'x')
            {
                x = i / 3;
                y = i % 3;
                break;
            }

        string ne = s;
        for (int i = 0; i< 4; i++)
        {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a >= 0 && b >= 0 && a< 3 && b< 3)
            {
                swap(ne[a * 3 + b], ne[x * 3 + y]);
                if (d.count(ne) == 0||d[ne]>d[s]+1)  //由于d数组记录的距离不一定是最短距离，所以这个条件不能少
                {
                    d[ne] = d[s] + 1;
                    pre[ne] = {s, ch[i]};
                    q.push({d[ne] + f(ne), ne});
                }
                swap(ne[a * 3 + b], ne[x * 3 + y]);
            }
        }
    }
    while (s != start)
    {
        ans += pre[s].second;
        s = pre[s].first;
    }
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    string c, g, l;
    int li = 0;
    while (cin >>c)
    {
        g += c;
        if (c != "x")
            l += c;
    }
    for (int i = 0; i< 8; i++)
        for (int j = i + 1; j< 8; j++)
            if (l[i] >l[j])
                li++;
    if (li & 1)
        cout<< "unsolvable"<< endl;
    else
        cout<< dfs(g)<< endl;
    return 0;
}

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文章题目：八数码问题-A*算法-创新互联
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