如何求极限(两个重要极限公式推导)

今天的文章讲的是高等数学中的极限。我们跳过极限的定义和极限计算的一些常用部分。我想大家对一些常用的函数和数列的极限应该是非常熟悉的。

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对于大多数简单的函数或序列,我们可以直观地看到它们的极限。比如1/n,当n趋于无穷大时,1/n的极限为0。比如当n趋于无穷大时,n的平方的极限也是无穷大,等等。

但是对于一些相对复杂的函数,我们可能一时半会很难直观的看到极限,所以需要更方便的方法来计算极限。今天的文章介绍的就是这样的方法——夹点法和替换法。

捏法其实在数学领域是很常用的,在中学竞赛中也经常出现。夹紧方法的原理很简单:

对于某个函数f(x),我们知道它的表达式,但很难确定它的取值范围。我们可以先找到值域相对容易确定的另外两个函数g(x)和h(x),然后证明:

f(x)的值域被h(x)和g(x)的值域所钳制。

说白了就是直接解决不方便的功能。我们用其他容易计算的函数代替它们来间接求解,类似于“曲线救国”。

了解了捏合法的概念之后,我们再来看看它在数列极限中的应用。

假设此刻有一个序列{xn},我们需要确定它的极限,我们找到了另外两个序列{yn}和{zn}。如果他们满足以下两个条件:

然后,序列{xn}的极限存在,并且:

直观来看,上面的公式应该是很直观的,但是我们还是试着从数学的角度来证明一下,顺便复习一下极限的定义。

认证过程如下:

根据极限的定义,对于数列{xn},任何数列都有n0。


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