包含海伦公式python函数的词条
海伦公式是什么
1、先来看海伦公式:三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)],
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其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的边长,√表示根号,即紧跟后面的括号内的全部数开根号。
2、再来看海伦公式的变形(以下所有式中的^表示平方)
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]
=(1/4)√[(A+B+C)(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A)]
变形1
=(1/4)√{[(A+B)^-C^][C^-(A-B)^]}
变形2
=(1/4)√{(A^+B^-C^+2AB)[-(A^+B^-C^-2AB)]}
变形3
=(1/4)√[4A^B^-(A^+B^-C^)^]
变形4
3、画一个三角形(在这儿不好画,你自己画一个吧),三边分别为
A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H,把A分成两部分X、Y
根据勾股定理可得以下三式:
X=A-Y
第1式
H^=B^-Y^
第2式
H^=C^-X^
第3式
根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^
第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得
Y=(A^-C^+B^)/2A
第5式
根据第2式可得
H=√(B^-Y^)
=√[B^-(A^-C^+B^)/4A^]
={√[4A^B^-(A^-C^+B^)^]}/2A
三角形面积S=(1/2)*AH
=(1/2)*A*{√[4A^B^-(A^-C^+B^)^]}/2A
=(1/4)√[4A^B^-(A^+B^-C^)^
]
这个等式就是海伦公式的变形4,故得证。
什么是海伦公式?
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明:由证一可知,u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。
证明:要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式
分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明:如图,tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式,得:
+ + =
①②③代入,得:
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x
∴x = 同理:y = z =
代入 ④,得: r 2 · =
两边同乘以 ,得:
r 2 · =
两边开方,得: r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。
证五:半角定理
半角定理:tg =
tg =
tg =
证明:根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得: r3 = ×xyz
海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s:
s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为
S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
海伦公式如何求三角形面积?
海伦公式:s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))
假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))
而公式里的p为半周长(周长的一半):p=1/2(a+b+c)
扩展资料
计算半周长
s=(a+b+c)/2
计算面积
area=(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))**0.5
print('三角形面积为%0.2f'%area)
用到了input输入,float类型转换。且根据三条构成条件使用while做循环判断,最后利用海伦公式,借助幂次运算函数完成了python的学习。
为什么python海伦公式不能用sqrt
虽然看起来sqrt(10)跟 10**05是一样的结果,但是实际上是有区别的。一个是开平方根,一个是乘方,最简单的,开平方根的那个数不能是负数,而负数的乘方运算是可以的。
求算三角形面积的海伦公式
只要已知三角形的三条边长,就可以求三角形的面积,公式:若已知三角形的三条边长分别为a、b、c,S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c) (p为三角形周长的一半,即p=1/2(a+b+c))。
证明的核心在于内切圆与角、面积之间的关系。利用内切圆可以用两种方式来求三角形的面积,由此建立等量关系,最后可以整理出海伦公式。
扩展资料:
注意事项:
三角形的底就是其中一条边,通常指位于底部的侧边,高是从底边到三角形顶部最高点的长度。当从三角形的底边向对面顶点作垂线,画出的这条线段就是三角形的高。这些信息应该是已知的,或是可以通过测量得到的。
由于直角三角形的两条边是相互垂直的,因此一条直角边相对于另一条直角边来说就是三角形的高,另一条边就是底边。因此就算没有明确给出底边长和高,但如果已知两条直角边长,就相当于知道底边长和高。
参考资料来源:百度百科-海伦公式
python计算三角形面积
(1)首先需要知道三角形是如何根据三边的长度计算面积的,就需要知道海伦公式。
(2)定义三个变量,用于表示三角形的三条边。
a=input("请输入一条边a=")
a=float(a)
b=input("请输入一条边b=")
b=float(b)
c=input("请输入一条边c=")
c=float(c)
(3)引入海伦公式的计算方法,求取三角形面积。
s=(p*(p-a)*(p-c)*(p-b))**0.5
p=(a+b+c)/2
(4)最后写上输出语句,对三角形的面积进行输出。
(5)运行这个程序,就可以看到最终结果,这样就完成了。
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