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傅立叶变换
傅立叶变换是一种正交变换,它可以将傅立叶变换前的空间域中的复杂卷积运算,转化为傅立叶变换后的频率域的简单乘积运算。不仅如此,它还可以在频率域中简便而有效地实现图像增强,并进行特征提取。因此它在图像处理包括遥感图像的应用处中得到很广泛的应用。
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傅立叶变换在数学中有严格的定义,先介绍一维傅立叶变换。对一个连续函数f(x)等间隔采样,可得到一个离散序列。如果采N个样,则这个离散序列可表示为 {f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}。借助这种表达,并令 x 为离散实变量,u 为离散频率变量,可将离散傅立叶变换对定义为:
中亚地区高光谱遥感地物蚀变信息识别与提取
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在以下讨论中认为f(x)是实函数,但一般F(u)是复函数,可以写成:
F(u)=R(u)+ jI(u) (5-9)
其中,R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。上式也常写成指数形式:
F(u)=IF(u)| exp[ j(u)] (5-10)
其中:
| F(u)|=(Rz(u)+Iz(U))1/2
F(u)=arctan(I(u)/R(u))
上两式中,幅度函数,| F(u)| 也称为f(x)的傅立叶频谱,F(u)称为相位角。频谱的平方称为f(x)的功率谱或频谱密度,记为P(u);
P(u)=| F(u)|2=R2(u)+ I2(u) (5-11)
与一维傅立叶变换类似,可定义二维函数的傅立叶变换的频谱、相位角和功率谱分别为:
F(u,v)=| R2(u,υ)+ I2(u,v)1/2 (5-12)
φ(u,v)=arctan(I(u,υ))/R(u,υ) (5-13)
P(u,v)=| F(u,v)|2=R2(u,v)+ I2(u,v) (5-14)
图5-8(a)给出了二维图像函数的透视图,这里有Z=f(x,y)。这个函数在以原点为中心的一个正方形内为正值常数,而在其他地方为零;图5-8(b)不给出了它的灰度图显示;图5-8(c)给出了这个二维图像函数傅立叶频谱幅度的灰度图显示。
图5-8 二维图像函数和傅立叶频谱的显示
傅立叶函数的复指数形式与三角函数形式区别?
前者是傅立叶变换:∫f(x)e^(-iωx)dx = ∫f(x) [cos(ωx) - i sin(ωx)]dx
后者是傅立叶级数:f(x) = a0/2 + ∑an*cos(ωx) +
bn*sin(ωx)
也就是虚部得到的Sin系数亦即级数中Sin的系数
matlab自定义函数如何做激活函数
制领域的时域图用一下方法是可以实现的。
首先:想办法读出样本点,x=(),y=() (在7.0里用小括号就可以了,不同版本可以自行改一下)
之后可参见如下方法,我也是转载ilove.MATLAB论坛上的方法 用过很好用
转载:“在Matlab 6.5以上的环境下,在左下方有一个"Start"按钮,如同Windows的开始菜单,点开它,在目录"Toolboxes"下有一个"Curve Fitting",点开"Curve Fitting Tool",出现数据拟合工具界面,基本上所有的数据拟合和回归分析都可以在这里进行。
下面给你简单介绍一下它的使用方法。
首先在Matlab的命令行输入两个向量,一个向量是你要的x坐标的各个数据,另外一个是你要的y坐标的各个数据。输入以后假定叫x向量与y向量,可以在workspace里面看见这两个向量,要确保这两个向量的元素数一致,如果不一致的话是不能在工具箱里面进行拟合的。
例如在命令行里输入下列数据:
x=(0:0.02:0.98)';
y=sin(4*pi*x+rand(size(x)));
此时x-y之间的函数近似的为正弦关系,频率为2,但是存在一个误差项。
可以通过作图看出它们的大体分布:
plot(x,y,'*','markersize',2);
打开曲线拟合共工具界面,点击最左边的"Data..."按钮,出现一个Data对话框,在Data Sets页面里,在X Data选项中选取x向量,Y Data选项中选取y向量,如果两个向量的元素数相同,那么Create data set按钮就激活了,此时点击它,生成一个数据组,显示在下方Data Sets列表框中。关闭Data对话框。此时Curve Fitting Tool窗口中显示出这一数据组的散点分布图。
点击Fitting...按钮,出现Fitting对话框,Fitting对话框分为两部分,上面为Fit Editor,下面为Table of Fits,有时候窗口界面比较小,Fit Editor部分会被收起来,只要把Table of Fits上方的横条往下拉就可以看见Fit Editor。在Fit Editor里面点击New Fit按钮,此时其下方的各个选框被激活,在Data Set选框中选中刚才建立的x-y数据组,然后在Type of fit选框中选取拟合或回归类型,各个类型的拟合或回归相应的分别是:
Custom Equations 用户自定义函数
Expotential e指数函数
Fourier 傅立叶函数,含有三角函数
Gaussian 正态分布函数,高斯函数
Interpolant 插值函数,含有线性函数,移动平均等类型的拟合
Polynomial 多项式函数
Power 幂函数
Rational 有理函数(不太清楚,没有怎么用过)
Smooth Spline ??(光滑插值或者光滑拟合,不太清楚)
Sum of sin functions正弦函数类
Weibull 威布尔函数(没用过)
不好意思,没有学过数理统计,所以很多东西都是用了才知道,翻译也就不太准确。不过在Type of fit选框下方有一个列表框,基本上各个函数类里的函数都写成解析式列在下方以供选择,所以找合适的函数还是比较容易的。
在这个Type of fit选框中选择好合适的类型,并选好合适的函数形式。于是点击Apply按钮,就开始进行拟合或者回归了。此时在Curve Fitting Tool窗口上就会出现一个拟合的曲线。这就是所要的结果。
在上面的例子中,选择sum of sin functions中的第一个函数形式,点击Apply按钮,就可以看见拟合得到的正弦曲线。
在Fitting对话框中的Results文本框中显示有此次拟合的主要统计信息,主要有
General model of sin1:
....... (函数形式)
Coefficients (with 95% conffidence range) (95%致信区间内的拟合常数)
a1=... ( ... ...) (等号后面是平均值,括号里是范围)
....
Godness of fit: (统计结果)
SSE: ... (方差)
R-squared: ... (决定系数,不知道做什么的)
Adjusted R-squared: ... (校正后的决定系数,如何校正的不得而知)
RMSE: ... (标准差)
上面的例子中经过拟合得到的函数最后为
y=0.9354*sin(12.36x+6.886)
频率为1.98加减0.03,和原来设置的频率为2符合,相对误差为1.5%。
这是曲线拟合工具箱的一个最简单的使用方法,上面还有很多功能,写是写不完的,自己参照这个基本的思路,翻着英汉词典,看着帮助,然后一个按钮一个按钮的试吧。
另外要说的是,如果想把这个拟合的图像导出的话,在Curve Fitting Tool窗口的File菜单下选Print to Figure,此时弹出一个新的图像窗口,里面是你要导出的图像,在这个figure窗口的File菜单里再选Export,选择好合适的格式,一般是jpeg,选择好路径,点击OK就可以了。出来的图像可以在Word等编辑环境中使用,就不多说了。
要修改图像的性质,如数据点的大小、颜色等等的,只需要在对象上点右键,就差不多可以找到了。”
上面所说的X,Y向量就是样本点。
下面是转载的网址,希望有用处
ilovematlab是个不错的论坛,我也是刚发现,不过帮助很大,基本的问题在那都会有答案。
傅里叶函数
傅里叶是法国数学家.
傅里叶发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数.傅里叶级数(即三角级数)、傅立叶分析等理论均由此创始.
傅里叶变换用于将复杂信号分解为正弦或余弦三角函数的组合.在电能质量分析及谐波检测中,利用傅里叶变换可以准确的获取信号的频率构造,对复杂信号进行定量分析和进行准确的数学描述.
傅立叶奇函数
当f(t)为奇函数时,f(t)coswt为奇函数,所以f(t)coswt在-∞到+∞上的积分为0;
而f(t)sinwt为偶函数,所以f(t)sinwt在-∞到+∞上的积分为0到+∞上的积分的2倍,
-j是被积函数f(t)sinwt前的系数,故多了一个-2j
(明白否?不明白再问)
什么是傅里叶函数
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称为傅里叶级数(法文:série de Fourier,或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数。
目录
傅里叶级数
傅里叶级数的公式
傅里叶级数的收敛性
三角函数族的正交性
奇函数和偶函数
广义傅里叶级数
编辑本段傅里叶级数
Fourier series 一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 傅里叶级数
多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 ============================================================================================================
编辑本段傅里叶级数的公式
给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数: mathx(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math(j为虚数单位)(1) 其中,matha_k/math可以按下式计算: 傅里叶级数
matha_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}/math(2) 注意到mathf_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}/math是周期为T的函数,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。k=0时,(1)式中对应的这一项称为直流分量,mathk=\pm 1/math时具有基波频率math\omega_0=\frac{2\pi}{T}/math,称为一次谐波或基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等。
编辑本段傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下: 在任何周期内,x(t)须绝对可积; 傅里叶级数
在任一有限区间中,x(t)只能取有限个最大值或最小值; 在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象:在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
编辑本段三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是: math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;/math 傅里叶级数
math\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math math\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)/math math\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;/math math\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;/math
编辑本段奇函数和偶函数
奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数,而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数: mathf_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);/math 傅里叶级数
mathf_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta/math,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
编辑本段广义傅里叶级数
任何正交函数系math\{ \phi(x)\}/math,如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点,那么如果f(x)满足封闭性方程: math\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math (4), 那么级数math\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x),其中: mathc_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx/math (6)。 傅里叶级数
事实上,无论(5)时是否收敛,我们总有: math\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}/math成立,这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外,式(6)是很容易由正交性推出的,因为对于任意的单位正交基math\{e_i\}^{N}_{i=1}/math,向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。
新闻名称:python傅立叶函数,python傅里叶变换函数
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