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在整个概率论中，核心的问题是随机变量的分布。正如我们在 离散分布和 连续分布中看到的，分布有许多种类。更夸张的是，在满足 概率公理的前提下，我们完全可以自行设计分布。想像一下，如果有一天数学书上印一个Vamei分布，这是多么美好的事情啊！然而，这一愿望并不那么容易实现。那些“名流”分布，比如“泊松”，“高斯”，“伯努利”分布，往往在理论上很重要，所以得到了数学家的深入研究。“知名”分布的特性(比如它们的期望、方差、累计概率函数)可以很容易在数学手册中找到，这些研究成果也成为概率论“军火库”的重要部分。

另一方面，概率分布是否存在什么共性呢？我们的许多结论都是依赖于分布的具体类型。对于一个分布成立的结论，对于另一种分布可能并不成立。一个对任意分布都成立的结论可以大大简化我们的研究。这在自然科学和社会科学的研究中异常重要。在这些学科的研究中有许多随机变量。比如说，为了研究金矿，往往需要知道石头中含金量X的概率分布。然而，这些随机变量的分布类型不可能提前获知 (甚至于永远不能准确的知道)。这样的话，整个研究就被停在了第一步。如果我们可以得出一个对任意分布都成立的结论，那么我们就可以沿着这个结论继续进行下去。

自然有时候比我们想像的慷慨，它给出了一个概率论中相当核心的一组定律：中心极限定律(central limit theorem)。这组定律不但对于任意分布都成立，还特别提示我们：要特别注意正态分布。我们下面看看，中心极限定律是如何说的。

中心极限定律

先来看中心极限定律的一个版本:

随机变量X1,X2,...,XnX1,X2,...,Xn是相互独立的随机变量，并有相同的分布(IID, independent and identically distributed)。分布的期望为μμ，方差为σ2σ2，μ,σμ,σ都为有限值，且σ≠0σ≠0。这些随机变量的均值为X¯=1n∑ni=1XiX¯=1n∑i=1nXi。让ζn=X¯−μσ/n√ζn=X¯−μσ/n，那么

limn→∞P(ζn≤z)=Φ(z)limn→∞P(ζn≤z)=Φ(z)

其中Φ(z)Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

简单来说，我们寻找n个IID随机变量的均值X¯X¯。当n趋进无穷时，这个均值(一个新的随机变量)趋近一个正态分布。

(通过ζnζn的变换，可以从正态分布的X¯X¯导出标准正态分布ζnζn。)

演示中心极限定律

我们下面取n个IID随机变量，让它们都符合λ=1λ=1的指数分布，并观察它们均值的分布状况。为了观察它们的分布，我们使用随机数生成器，来进行10000次采样。即进行100000次实验，每次实验获得一组随机变量的取值，得到一个均值。总共获得10000个均值。绘制均值分布的直方图。

分三种情况，分别让n等于1，20， 100:

在第一种情况下,X¯=X1/1=X1X¯=X1/1=X1，即X¯X¯本身是指数分布。

在第二、三种情况下，均值的分布越来越偏离一个指数分布，分布的形状不断趋近于一个正态分布。

代码如下：

# By Vamei # Central Limit Theory # X is exponential distribution with lambda = 1 import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npfrom scipy.stats import expon# Get one sample of (X1 + X2 + ... + XN)/N def sample_mean(N):    # exponential distribution, with lambda = 1 
    one_sample = expon.rvs(scale = 1, size = N)    return one_sample.mean()# Increase N: 1, 20 , 1000. # Demo of Central Limit Theory in histogramplt.figure(figsize=(12, 4))for N, subp in zip([1, 20, 1000], [131, 132, 133]):    # generate samples 
    all_means = np.array([sample_mean(N) for i in range(10000)])    # plot figure    plt.subplot(subp)
    plt.hist(all_means,bins=100,color="blue")
    plt.title('Central Limit Theory n=%i' % N)
    plt.xlabel('sample means')
    plt.ylabel('Frequency')
plt.tight_layout()
plt.savefig('./central_limit.png', dpi=None, facecolor='w')

练习：这段代码检验的是指数分布的均值。可以改写成检验其它分布是否符合中心极限定律，比如均匀分布的均值。 

证明 

我将使用矩生成函数来证明上面的定律。假设Xi−μXi−μ的矩生成函数为M(t)M(t)。因此，M′(t)=μ,M(2)(t)=σ2M′(t)=μ,M(2)(t)=σ2。

当n趋近无穷时，t/(σn−−√)t/(σn)趋近0。M(t)可以展开为:

M(t)=1+12σ2t2+o(t2)M(t)=1+12σ2t2+o(t2)

o(t2)o(t2)表示比t2t2更高阶的t的乘方。

根据矩生成函数的性质，ζnζn的矩生成函数写为

Mζn=[M(tσn−−√)]n=(1+t22n+o(t2/n))nMζn=[M(tσn)]n=(1+t22n+o(t2/n))n

o(t2/n)o(t2/n)表示，当n趋于无穷时，早于t2/nt2/n消失的项。

(根据微积分，证明从略)：当n趋近于无穷时，上面的表达式趋近：

Mζn(t)→et2/2Mζn(t)→et2/2

这正是标准正态分布的矩生成函数。因此ZnZn的分布趋近于标准正态分布。

上面介绍的中心极限定律有一个先决条件，即产生均值的N个随机变量为IID(独立、同分布)随机变量。在其它的版本的中心极限定律中，各个随机变量可以不完全独立。事实上，中心极限定律是一个还在积极研究中的领域。

花边

中心极限定律的原型可以追溯到18世纪de Moivre的研究。他经过实验发现，大量正面抛硬币的话，结果(1：正面，0：反面)的均值是一个正态分布。这里，de Moivre研究的分布是多个伯努利分布的随机变量的均值。

硬币投掷：均值的分布

(想像一下，当时没有计算机，更别说随机数生成器了。为了检验结果，de Moivre真的投了几千次硬币…… 数学家是很神奇的动物)

为了更加直观的理解中心极限定律的结果。我们来设想一下，如果一个大米缸中混装了黑白两种米，各占一半。从中随便抓一把，这一把中有n个米粒。如果n比较小的话，那么很有可能出现一些极端值，比如n = 3，出现三个纯白的米粒。但是，如果“一把”很大，比如1000颗米粒，那么出现1000个米都是白色的概率很小，而白米和黑米一半一半的概率很大，也就是一个类似于正态分布的分布方式。

我们可以将中心极限定律方便的用于许多统计问题。需要注意的是，中心极限定律要求n趋近无穷。在实际应用中，我们往往让n等于一个“足够”大的数，比如上面的1000。这个数字是否足够大呢？这取决于X是什么样的分布。对于某些分布来说，均值分布趋近于正态分布的速度很慢，这要求我们采用更大的n值。

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